BLOQUE 7: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y

                                                                        LOGARITMICAS

Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Como  para todo ,la función exponencial es una función de en . 

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 
 
 

2.1.1  Teorema (Leyes de los Exponentes) 

Sean a y b reales positivos y x,yΠ ,entonces: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  . 

6 . 

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,  .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial 
de base a es estrictamente creciente en su dominio. 

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,  . 

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en 

su dominio. 

 . 

10.Si 0< a < b ,se tiene: 

 

. 

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que 

 . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. 

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real. 
 

2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial 

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. 

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial  (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,  crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,  tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. 

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,  crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y  tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. 

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. 

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. 

Observación. 

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial  ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =  . 
 

2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas 
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones  y  que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre defunciones hiperbólicas. 

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan. 

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define: 

 ,  

La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define: 

 ,  

A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera: 

 

 

 

 

A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas: 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6. senh2x =2senhx coshx 

8.  

9.  

10.  

11.  

12.   

EJEMPLOS

Simplifique totalmente la siguiente expresión:   ..

SOLUCION
=  =  = =  = = 2025 .

Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción .Así:  También ,    En consecuencia ,  .

Simplifique Totalmente:

 

 Ayuda: Exprese Todo en Potencias de Base 2 y 3.
  Definición. Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:  La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,  
denotada por  ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número  se llama logaritmo de x en la base a.  
La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.  
En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.  
2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos ) 
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :  
 .  
 
 
 
 
.  
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,  .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.  
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,  .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.  
Para todo número real , existe un único número real  tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .  
.  
 
Si  , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza) 
  
Demostración. 
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.  
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.  
  
Sea  .De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :  
.  
Esto es ,  ( 1 )  
En segundo lugar , nuevamente por la definición , .  0
Es decir ,  ( 2 ).  
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .  
Sea  y  , entonces :  
 ( 1 ).  
 ( 2 ).  
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :  .  
Es decir , .  
7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :  y  .Se prueba que  
 .  
En efecto ,si  ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir ,  en contradicción con la hipótesis.  
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.  
Observaciones. 
i ) La igualdad , dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 .  
ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen 
   de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma 
   base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es.  
iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número 
    e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se 
    denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son 
    los  correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan 
     por   o,   simplemente, Log x. 
  
  
  
2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica 
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones  e , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.  
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas  e   .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.  

fig 3 fig 4

  fig.5

SOLUCIÓN
Sean  , las energías de los dos terremotos y tales que (1). Entonces,  Pero,  (3) y ,también ,  (4)  Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene:  Simplificando la última igualdad, se deduce que :  . Este último resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades mas que la intensidad del primero.  Si  denota la energía del terremoto de San Francisco   y  la energía del Eureka  , entonces :     (5).  (6).   Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se obtiene: 1. Use las propiedades de los logaritmos para demostrar las siguientes identidades.  a)  b)  c )   5. Resuelva la Siguientes Ecuaciones Logarítmicas.   a)  b)  c)  d) -     6. Si a > 1 y x > 1 ,pruebe que :     7. Determine el valor de x, ,sabiendo que :      8. Determine los valores de x e y que verifican simultáneamente las ecuaciones:    x . y = 16   9. Resuelva las siguientes ecuaciones :        10. Dado que:  y  , pruebe que:  y  .     11. Dado que , pruebe que:  .     12. Dado que, pruebe que: