BLOQUE 4: UTILIZA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS 3 Y 4

                                           *FUNCIONES DE 3 Y 4 GRADO*

Se denomina función cúbica a toda función de la forma: donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales. La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2×2 + a3×3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura. EJEMPLO...

Empezamos calculando sus raíces.
Para que y = 0 se requiere que x
3 = 0.
En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos
por sí mismo tres veces obtengamos cero.
El único número que satisface la condición anterior es x = 0.
Esta es la única raíz de la función.


Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el
conjunto de los números reales. (pag. ??)
El contradominio se calcula de la sigiuente manera:
3 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.
3 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.
Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x
crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.
Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

EJEMPLO...


Grafica la siguiente función polinomial:
y = x
3  x
Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.


Empezamos calculando sus raíces.
Para eso factorizamos la expresión: Profesor:
Sugiera el repaso
de la factorización
extra-clase en caso
de ser necesario.
y = x (x
2  1) = x (x + 1) (x  1)
De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.
Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea
cero.
Tenemos tres casos: x = 1, x = 0, y x = 1.
Entonces, la función corta al eje x en x = 1, x = 0 y x = 1.
De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.
Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f(x) crece.



EJEMPLO...




EJEMPLO...


Para ilustrar la división sintética empezamos calculando la división utilizando el método
«normal» o de la «división larga».
Colocamos el dividendo y el divisor en “la casita”:
x  3 x
2  5 x  10
Ahora buscamos una expresión que multiplicada por x nos dé igual a x
2
. Esa expresión es:

Ahora, vamos a multiplicar la expresión que acabamos de encontrar por x  3. Igual que
con la división con números, vamos a cambiar el signo al resultado y después sumamos
algebraicamente.
x
x  3 x2  5 x  10
x2 + 3 x
2 x
A continuación bajamos el número 10 del divisor.
Al igual que en el caso de la división con números, buscamos una expresión que multiplicada por x nos dé igual a: 2 x
En este caso, necesitamos: 2

EJEMPLO...





EJEMPLO...







Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado tres.-


Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema del factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0, es decir, f(r) = 0, entonces [x - r] es un factor de f(x).
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales.En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la formaa - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a₃x³ +a₂x²+a₁x+a₀, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a₃x³ +a₂x²+a₁x+a₀, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a₃x³ +a₂x²+a₁x+a₀, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces pes un factor del término constante a₀. y q es un factor de a₃.


Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado cuatro.-

Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema de factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0; es decir, f(r) = 0, entonces x - r es un factor de f(x).
La función de cuarto grado puede carecer de ceros reales. En el mejor de los casos puede llegar a tener hasta cuatro ceros reales.
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la formaa - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a₄x⁴ + a₃x³ +a₂x²+a₁x+a₀, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces p es un factor del término constante a₀. y q es un factor de a₃.

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros, grado tres.-

a) La función cúbica f(x) = ax ³ + bx² + cx + d describe una gráfica parecida a una S.
Dependiendo del valor del coeficiente principal la curva puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.
b) Si el valor de a, es:
Positivo, la curva asciende desde la izquierda y seguirá ascendiendo hacia la derecha.
Negativo, la curva descenderá desde la izquierda y seguirá descendiendo hacia la derecha.
c) La curva de la función cúbica siempre tiene al menos una raíz real y como máximo, tres raíces reales.
d) La gráfica de la función cúbica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.
e) La curva de la función cúbica no siempre presenta puntos extremos locales; pero en caso de presentar extremos locales, éstos serán dos: un máximo y un mínimo.
f) El dominio de la función cúbica es R y su rnago es R.

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros, 
grado cuatro.-

La función cuártica f(x) = ax⁴ + bx ³ + cx² + dx + e describe una gráfica parecida a una parábola.
a) Dependiendo del valor de su coeficiente principal puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.

b) Si el valor de a:
Es positivo, la curva desciende desde la izquierda y ascenderá hacia la derecha.
Es negativo, la curva asciende desde la izquierda y descenderá hacia la derecha.

c) La curva de la función cuártica puede tener 0, 1, 2, 3 ó 4 raíces reales.

d) La gráfica de la función cuártica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.

e) La curva de la función cuártica presenta puntos extremos locales (máximos y mínimos) y pueden ser: uno, dos y tres.

f) El dominio de la función cuártica es R y su rango dependerá del máximo absoluto o bien del mínimo absoluto.