BLOQUE 6: APLICA FUNCIONES RACIONALES

                      *APLICAS FUNCIONES RACIONALES *

Las funciones racionales son aquellas funciones que se obtienen de un cociente de polinomios:

, siendo el grado de 

Un caso particular son las funciones del tipo , donde k0 y n es un número natural.

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x₁, x₂,..., x_n, y así tendremos que D(f) = R\{x₁, x₂,..., x_n}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x₁, x₂,..., x_n. Por ejemplo:

EJEMPLOS:

Resolvemos la ecuación x²+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.

Por lo tanto D(f) = R.

Asíntotas horizontales:

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.
La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:
1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.


        La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.

jo.

Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal.
En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.
En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.
OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de aba


  La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.
Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.

  Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo.
Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

Asíntotas verticales:


Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.
Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.
2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.
NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

1.- En el valor x = 3 la función no está definida. 2.- El límite en x = 3 no existe. Cuando x se acerca a 3 por la derecha el límite es: infinito Cuando x se acerca a 3 por la izquierda el límite es: menos infinito.

Por lo tanto la función tiene una Asíntota Vertical en x = 3, o sea, la recta x = 3 es la asíntota a la cual la función se va a acercar indefinidamente sin tocarla nunca.

1.- La función no está definida en dos valores de x, en x = 2 y en x = 4. 2a.- En x = 4 el límite no existe, por la derecha el valor de la función tiende a infinito y por la izquierda el valor de la función tiende a menos infinito. 2b.- en x = 2, el límite sí existe y es -5/2

Por lo tanto, una de las restricciones de dominio es una Asíntota vertical, mientras que la otra, como ya se vio anteriormente es un agujero en la función. La función tiene una A. v. en x=4, o sea, la recta x = 4 funge como recta a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

A diferencia de los límites anteriores, que no existen, los límites cuando x tiende a 2, sí existen. por lo tanto, el límite cuando x tiende a 2, sí existe:

Es conveniente hacer notar, que este es un caso en que la función cruza la asíntota horizontal, lo cual se verá con más detenimiento en la sección de asíntotas horizontales.

La función no está definida para valores iguales o menores que 4.