*CEROS Y RAICES*
Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.
Cuando graficamos una función cuadrática cuyo dominio es R, puede ocurrir que la parábola tenga contacto con el eje x en dos puntos, o en uno solo, o bien que no tenga contacto. Las abscisas de los puntos de contacto son las raíces reales o ceros de la función. Si no tiene contacto con el eje x, la función no tiene raíces reales.
EJEMPLOS:
ejemplo...
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de 
, escríbase 
como un producto de factores lineales.
Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
.
.
.
.
Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de
que son 
, 
.
Así,
escrito como el producto de factores lineales es,
.
Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.
, escríbase como un producto de factores lineales.Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
....Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de
que son , .Así,
escrito como el producto de factores lineales es,.Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.
ejemplo...
En 
, hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas.
.
.
En
hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.
, hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas...En
hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.
ejemplo...
Hállese el residuo de dividir el polinomio 
entre 
.
Solución.
se puede escribir como 
, por tanto 
.
.
.
O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si
es un cero del polinomio 
, entonces 
es un factor de 
.
Demostración.
Si
es un cero de 
, 
.
Pero por el algoritmo de la división
.
Como
, 
.
Por tanto,
y 
.
Use el teorema del factor para probar que
es un factor de 
.
Solución.
, así 
.
.
Luego –1 es un cero de
.
Así
es un factor de 
.
Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado
con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.
Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.
ejemplo...
entre .Solución.
se puede escribir como , por tanto ...O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si
es un cero del polinomio , entonces es un factor de .Demostración.
Si
es un cero de , .Pero por el algoritmo de la división
.Como
, .Por tanto,
y .
ejemplo...
Use el teorema del factor para probar que
es un factor de .Solución.
, así ..Luego –1 es un cero de
.Así
es un factor de .Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado
con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.
ejemplo...
ejemplo...
Hállese el residuo de dividir el polinomio entre .
Solución.
se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de .
Demostración.
Si es un cero de , .
Pero por el algoritmo de la división.
Como, .
Por tanto, y .
entre .Solución.
se puede escribir como , por tanto ...O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si
es un cero del polinomio , entonces es un factor de .Demostración.
Si
es un cero de , .Pero por el algoritmo de la división
.Como
, .Por tanto,
y .
ejemplo...
Busquemos las raíces de h(x)= x2 - 1 ( a=1, b=0, c= -1)
Planteamos ------------->x2 - 1=0
Despejamos x ---------->x2 = .......=> |x|= Ö 1 =>
|x|= 1 =>x1=1 o x2= -1
Los valores x1=1 o x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
ejemplo...
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 2x - 3 ( a=1, b=2, c= -3)
Planteamos -------------> x 2 + 2x - 3 =0
Aquí no podemos despejar x (Inténtalo!), ni extraer factor común.
Las ecuaciones que planteamos para buscar las raíces de una función cuadrática, es decir, la ecuación que puede escribirse en la forma: ax 2 + bx + c =0, con a distinto de 0, recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.
Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )2
Planteamos -------------> ( x - 3 )2 =0
Despejamos x ----------> x - 3 = Ö 0
x - 3 = 0 => x = 3
El valor x=3 es el único punto en el que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.
ejemplo...
ejemplo...
- La raíz es simple si
- La raíz es múltiple si
, en este último caso la raíz se dice de orden n, siendo
, cuando se puede escribir:
Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definda como:
Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:
La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
EJEMPLOS:
ejemplo...
ejemplo...
ejemplo...
ejemplo...
ejemplo...
ejemplo...
ejemplo....
ejemplo...
*TEOREMA DEL ALGEBRA*
El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una variable no constante con coefisientes complejos tiene un raíz compleja, es decir, existe un número complejo que evaluado en el polinomio da cero. Este incluye polinomios con coeficiente reales, ya que cualquier número real es un número complejo con parte imaginaria
Aunque ésta en principio parece ser una declaración débil, implica todo polinomio de grado n de una variable no constante con coeficientes complejos n tiene, contando , exactamente n raíces. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la divicion polinomica sucesiva por factores lineales.
Hay muchas demostraciones de este importante resultado, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del analisis matematico que del algebra.
EJEMPLOS:
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