* FUNCIÓN INVERSA*
Función, generalmente escrita como f^-1, que invierte exactamente la representación producida por una función f dada. El "-1" de la función significa función inversa y no tiene nada que ver con el "-1" utilizado como exponentes.

Dada una función

, se llama función inversa de

y se denota por

a otra función que para cualquier valor del dominio de

se cumple que:

No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f

, proviene de un único valor del dominio

EJEMPLOS:

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x

Ejemplo...

Calcula la inversa de la función

Primero intercambiamos la

y la

y después despejamos la

Luego la función inversa de

Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

EJEMPLO 2....Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 3

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0	3	f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1	5	f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2	7	f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3	9	f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4	11	f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Ejemplo 4

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 5

Sea g una función g : A ® B, y sea f una función f : B ® C. La composición de funciones f y g, denotada por f o g es definida por

(f o g)(a) = f (g (a))

Función que asigna un elemento a Î A a elementos asignados por f a g(a).

EJEMPLO 6

EJEMPLO 7

EJEMPLO 8

EJEMPLO 9

EJEMPLO 10

EJEMPLO 11

Sea f : Z ® Z y g : Z ® Z, definida por f (x) = 2x + 3 y g(x) = 3x + 2. Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).
Sea f 0: R ® R, g : R ® R definida por f (x) = x^2, g(x) = x^2 + 5. Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).
Sea f : R ® R, g : R ® R definida por f (x) = (x^2 + 1)/(x^2 + 2), g(x) = (-3x^2 + 7). Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).

Si f ^-1(b) = a donde f (a) = b y f (a) = b donde f ^-1(b) = a, la composición de funciones es :

(f o f^-1 ) (b) = f (f^-1 (b)) = f (a) = b.

En consecuencia f^-1 o f = iA y f o f ^-1= iB donde iA y iB son la función identidad del conjunto A y B. Entonces(f^-1 )^-1 = f .

EJEMPLO 12

(Inversa a derecha e inversa a izquierda de

(f ^-1 o f ) (a) = f ^-1 (f (a)) = f ^-1 (b) = a.

funciones) Sea $f: X \longrightarrow Y$ una función.

Una inversa a izquierda de es una función $g: Y \longrightarrow X$ tal que $g \circ f = Id_{X}$ .
Una inversa a derecha de es una función $h: Y \longrightarrow X$ tal que $f \circ h = Id_{Y}$ .

La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:

EJEMPLO 13

Si consideramos la función f: {(0,1), (1,2), (2,5), (3,10), (4,17)}, la cual es uno a uno,

podemos definir ahora la función f -1: {(1,0),(2,1),(5,2),(10,3),(17,4)}.

A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le

conoce con el nombre de función inversa.

EJEMPLO 14

Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia

La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta

y=x. Así, si expresamos la función y = 3x +5 como un conjunto de parejas

ordenadas, obtenemos f ={(-2,-1), (-1,2), (0,5), (1,8), (2,11)}.

Las parejas ordenadas que definen a la correspondiente función inversa son:

=−1

f {(-1,-2), (2,-1), (5,0), (8,1), (11,2)}.

EJEMPLO 15

Para hallar la inversa de la función y = 3x + 5

1) Cambiamos el nombre de las variables: x = 3y + 5 . . . . . x=f (y)

2) Despejamos la variable y;

y . . . . . . . . . . . . . . . y= f -1(x)

EJEMPLO 16

EJEMPLO 17

EJEMPLO 18

EJEMPLO 19

Calcula la inversa de la función

Primero intercambiamos la

y la

y después despejamos la

Luego la función inversa de

Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

EJEMPLO 20

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

· Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

^_ Despejar la variable independiente x.

^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante.

EJEMPLO 11

Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

· Se intercambian ambas variables:

_{* FUNCIÓN ESCALONARÍA*}

Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

SITUACIONES EN LAS QUE APARECEN ESTAS FUNCIONES

Las situaciones en las que hay que hacer un pago por "hora o fracción" de uso de un servicio están representadas por funciones escalonadas, ya que si usamos el servicio durante unos minutos, nos cobran la hora entera.

Por ejemplo, es el caso del parquímetro

EJEMPLO 5

EJEMPLO 7

Estas función se define por partes, donde cada parte corresponde a una función constante

su representación gráfica es :

La gráfica presenta una discontinuidad de saltos. Cada escalón es la gráfica de una

función constante, es decir, que se trata de “funciones constantes por trozos”.

EJEMPLO 8

EJEMPLO 10

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.
Monografias.com

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

EJEMPLO 11

La función escalón unitario o función de Heaviside^1.2 $H: [0, + \infty[ \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$ se define como

$\begin{displaymath} H(t-a) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < a$} \\ 1 & \text{Si $t \geq a$} \\ \end{cases} \end{displaymath}$

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo $[0,+ \infty[$ , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .

EJEMPLO 12

Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por

$\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < 1$\ } \\ 1 & \text{Si $t \geq 1$} \\ \end{cases} \end{displaymath}$

y su gráfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para $t \geq 0$ , ésta función se desactiva en el intervalo

EJEMPLO 13

Trazar la gráfica de la función $f(t) = Sen(t) H(t-2 \pi)$ .
SOLUCION
La función está dada por
$\begin{displaymath} f(t) = \begin{cases} 0 & \text{Si $0 \leq t < 2 \pi$} \\ Sen(t) & \text{Si $t \geq 2 \pi$} \\ \end{cases} \end{displaymath}$

EJEMPLO 8
Use la función de Heaviside para reescribir la función
$\begin{displaymath} f(t)= \begin{cases} g(t) & \text{Si $0 \leq < a$\ } \\ h(t) & \text{Si $t \geq a$} \\ \end{cases} \end{displaymath}$

EJEMPLO 14

Esta función se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. La integral de la función impulso es cero si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el escalón unitario.

Como ya se trajo a colación en el segundo párrafo esta función es utilizada ampliamente en ingeniería, de igual forma esta es utilizada normalmente para presentar variables en algún instante del tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo.

En el caso de la función escalón, físicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos lo cual no existe, en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.

_{EJEMPLO 15}

EJEMPLO 16

EJEMPLO 17

Consideremos la función más sencilla, por ejemplo . La imagen de cualquier número es siempre 2. Si

hacemos una tabla de valores tendríamos:

x -2 -1 0 1 2

y 2 2 2 2 2

Por tanto si representamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la

gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto 2

_{EJEMPLO 18}

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es
creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto
de los números reales. El intercepto en y es (0,4)

_{EJEMPLO 19}

EJEMPLO 20

* FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO*

En matematica, el valor absoluto o modulo¹ de un numero real es su valor numerico ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

ejemplo...

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

ejemplo...

ejemplo....

ejemplo....

ejemplo...

ejemplo...

Resolver 3 |5 − 4x| = 9

Veamos:

Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación: